Prvo da Braci zahvalim, jer već 24 časa pokušavam da se prisetim kako se zove kriva koju tačka na točku opisuje tokom kotrljanja točka: cikloida.
Braca je sve lepo objasnio šta se dešava, ali nije rekao gde je greška u postavci Aristotelovog paradoksa. Pošto su se već pojavili neki novi problemi, onda da probam da ga objasnim.
Trik se sastoji u poređenju kretanja 2 tačke na različitim udaljenostima od centra diska - 3 i 5. One opisuju slične cikloide i njihovim poređenjem nećemo daleko dogurati. Da su u postavci zadatka umesto tačke na poluprečniku 3 uzeli tačku u centru diska, bilo bi nam lakše, jer bismo odmah primetili da je njena trajektorija prava linija dužine 5*pi*2. Tako bismo shvatili da centar diska ima samo translaciju, i to "prisilnu" translaciju nastalu usled kotrljanja diska po svom obodu u dužini jednakoj obimu diska, pošto je urađen jedan kompletan krug od 360°. Čim shvatimo da centar diska ima samo tu translaciju, odmah shvatamo da sve tačke na disku takođe imaju istu tu translaciju, jer je disk na kraju kretanja zadržao isti oblik koji je imao na početku - disk se u međuvremenu nije deformisao, što znači da su sve tačke isto translirane. Pošto smo shvatili da je tačka na obodu diska napravila rotaciju od punog kruga, dolazimo do zaključka da su i sve tačke sa tog diska bile podvrgnute rotaciji od jednog punog kruga.
I tu dolazimo do objašnjenja gde je greška u logici Aristotelovog paradoksa. Dakle, disk je imao translaciju i rotaciju od jednog punog kruga. Ako disk podignemo u vazduh (nema kontakta sa tlom, dakle ne kotrlja se) i zavrtimo ga jedan krug i nakon toga ga prenesemo (transliramo) od početnog u krajnji položaj dobićemo razdvojena ova dva gorepomenuta kretanja. U Aristotelovom paradoksu ova dva elementarna kretanja su povezana u jedno složenije: kotrljanje diska po svom obimu. Prilikom čiste rotacije sve tačke naprave samo kružno kretanje i vrate se na svvoje početno mesto - tačka sa dna diska ode maksimalno levo (položaj: 9 sati), zatim maksimalno gore (12 sati), zatim maksimalno desno (3 sata) i na kraju, maksimalno dole (6 sati) odakle je i krenula. To se dešava sa svakom tačkom na disku, teorijski i sa centrom rotacije, jer su njegova kružna kretanja pomnožena sa nultom udaljenošću od ose rotacije. Ono što je bitno, jeste da nijedna tačka nije na kraju uznapredovala ni u jednom pravcu prilikom ove rotacije.
Pošto od čiste rotacije disk nije napredovao ni za milimetar u pravcu svog krajnjeg položaja, shvatamo da je samo translacija izazvala pomeranje diska s leva nadesno. I svaka tačka na disku je prešla isti HORIZONTALNI put - 5*pi*2. Pri tom su sve tačke (osim centra diska) išle i levo-gore-desno-dole proporcionalno svom poluprečniku, ali se to levo-desno u Aristotelovom paradoksu nije primećivalo jer je svo vreme bila prisutna i translacija, koja je sve to zamaskirala. Primećivali smo samo gore-dole. Na priloženoj sličici se vidi kako ta trajektorija izgleda za tačku na obodu diska, kao i translacija. Kad bismo izmerili trajektoriju obodne tačke, videli bismo da je ona prešla dvostruki put u odnosu na centar diska, dakle dva puta po 5*pi*2, jer je 5*pi*2 dugačak njen put usled samo rotacije, a isto toliki je i put usled translacije. Centar diska je imao duplo kraći put jer se on samo translirao. Tačka na 3 od centra diska je imala trajektoriju ukupne dužine 3*pi*2 (usled svoje rotacije) + 5*pi*2 (usled translacije, koja je ista za svaku tačku).
Ali ono što je bitno, projekcija trajektorije svake tačke sa diska na horizontalnu osu jednaka je translaciji - 5*pi*2, a to je pređeni put našeg točka.
Objašnjenje Aristotelovog paradoksa je sledeće: Tačka na udaljenosti 5 od centra diska je imala ukupno kretanje od 10*pi*2, pri čemu je horizontalna komponenta bila 5*pi*2, a tačka na udaljenosti 3 od centra diska je imala ukupno kretanje od 8*pi*2, pri čemu je horizontalna komponenta bila ista - 5*pi*2. Aristotel je zaboravio da doda translaciju, koja se kod tačke na obodu poklapa sa pređenim putem usled rotacije, već je poredio samo pređeni put usled rotacije ove dve tačke.
Braca je sve lepo objasnio šta se dešava, ali nije rekao gde je greška u postavci Aristotelovog paradoksa. Pošto su se već pojavili neki novi problemi, onda da probam da ga objasnim.
Trik se sastoji u poređenju kretanja 2 tačke na različitim udaljenostima od centra diska - 3 i 5. One opisuju slične cikloide i njihovim poređenjem nećemo daleko dogurati. Da su u postavci zadatka umesto tačke na poluprečniku 3 uzeli tačku u centru diska, bilo bi nam lakše, jer bismo odmah primetili da je njena trajektorija prava linija dužine 5*pi*2. Tako bismo shvatili da centar diska ima samo translaciju, i to "prisilnu" translaciju nastalu usled kotrljanja diska po svom obodu u dužini jednakoj obimu diska, pošto je urađen jedan kompletan krug od 360°. Čim shvatimo da centar diska ima samo tu translaciju, odmah shvatamo da sve tačke na disku takođe imaju istu tu translaciju, jer je disk na kraju kretanja zadržao isti oblik koji je imao na početku - disk se u međuvremenu nije deformisao, što znači da su sve tačke isto translirane. Pošto smo shvatili da je tačka na obodu diska napravila rotaciju od punog kruga, dolazimo do zaključka da su i sve tačke sa tog diska bile podvrgnute rotaciji od jednog punog kruga.
I tu dolazimo do objašnjenja gde je greška u logici Aristotelovog paradoksa. Dakle, disk je imao translaciju i rotaciju od jednog punog kruga. Ako disk podignemo u vazduh (nema kontakta sa tlom, dakle ne kotrlja se) i zavrtimo ga jedan krug i nakon toga ga prenesemo (transliramo) od početnog u krajnji položaj dobićemo razdvojena ova dva gorepomenuta kretanja. U Aristotelovom paradoksu ova dva elementarna kretanja su povezana u jedno složenije: kotrljanje diska po svom obimu. Prilikom čiste rotacije sve tačke naprave samo kružno kretanje i vrate se na svvoje početno mesto - tačka sa dna diska ode maksimalno levo (položaj: 9 sati), zatim maksimalno gore (12 sati), zatim maksimalno desno (3 sata) i na kraju, maksimalno dole (6 sati) odakle je i krenula. To se dešava sa svakom tačkom na disku, teorijski i sa centrom rotacije, jer su njegova kružna kretanja pomnožena sa nultom udaljenošću od ose rotacije. Ono što je bitno, jeste da nijedna tačka nije na kraju uznapredovala ni u jednom pravcu prilikom ove rotacije.
Pošto od čiste rotacije disk nije napredovao ni za milimetar u pravcu svog krajnjeg položaja, shvatamo da je samo translacija izazvala pomeranje diska s leva nadesno. I svaka tačka na disku je prešla isti HORIZONTALNI put - 5*pi*2. Pri tom su sve tačke (osim centra diska) išle i levo-gore-desno-dole proporcionalno svom poluprečniku, ali se to levo-desno u Aristotelovom paradoksu nije primećivalo jer je svo vreme bila prisutna i translacija, koja je sve to zamaskirala. Primećivali smo samo gore-dole. Na priloženoj sličici se vidi kako ta trajektorija izgleda za tačku na obodu diska, kao i translacija. Kad bismo izmerili trajektoriju obodne tačke, videli bismo da je ona prešla dvostruki put u odnosu na centar diska, dakle dva puta po 5*pi*2, jer je 5*pi*2 dugačak njen put usled samo rotacije, a isto toliki je i put usled translacije. Centar diska je imao duplo kraći put jer se on samo translirao. Tačka na 3 od centra diska je imala trajektoriju ukupne dužine 3*pi*2 (usled svoje rotacije) + 5*pi*2 (usled translacije, koja je ista za svaku tačku).
Ali ono što je bitno, projekcija trajektorije svake tačke sa diska na horizontalnu osu jednaka je translaciji - 5*pi*2, a to je pređeni put našeg točka.
Objašnjenje Aristotelovog paradoksa je sledeće: Tačka na udaljenosti 5 od centra diska je imala ukupno kretanje od 10*pi*2, pri čemu je horizontalna komponenta bila 5*pi*2, a tačka na udaljenosti 3 od centra diska je imala ukupno kretanje od 8*pi*2, pri čemu je horizontalna komponenta bila ista - 5*pi*2. Aristotel je zaboravio da doda translaciju, koja se kod tačke na obodu poklapa sa pređenim putem usled rotacije, već je poredio samo pređeni put usled rotacije ove dve tačke.